Cac so tren vong tron 2

[LapNT]

Tro lai cau 1 & 2:
1. 25 hòn sỏi đen và 25 hòn sỏi trắng được xếp thành vòng tròn. Chứng minh rằng có một hòn sỏi mà hai hòn hai bên (trái, phải) đều trắng.

2. Có n số thực nằm trên một vòng tròn với tổng không âm. Chứng minh rằng tồn tại một trong n số này, tạm gọi là số x, thỏa mãn điều kiện sau đây: với mọi k > 0 thì tổng của k số thực, kể từ x theo chiều kim đồng hồ, là không âm.

Trong topic "cac so tren vong tron" dexter8310 da neu ra loi giai cua ca 3 cau. Nhung minh thay loi giai cua cau dau chua dung. Co the minh chua hieu ro loi giai cua dexter8310. Con cau 2 thi hoi manh qua! Sau day la mot vai loi binh nho nho:

1. Giả sử không có hòn sỏi nào thỏa mãn --> ko tồn tại trường hợp 2 hòn sỏi lân cận đều trắng (1) Vì trắng và đen tương đương --> cũng ko tồn tại 2 hòn sỏi lân cận đều đen (2)
(1) + (2) --> các hòn sỏi phân bố thành các cặp cùng màu liên tiếp trên vòng tròn
--> tổng số sỏi trắng (và tổng số sỏi đen) phải chẵn --> sai vì 25 lẻ
Loi giai nay chua dung vi:
"ko tồn tại trường hợp 2 hòn sỏi lân cận đều trắng": dieu nay khong the suy ra duoc tu gia thiet phan chung cua bai toan. Minh nghi la dexter8310 da doc nham de (neu khong thi la minh chua hieu ro de :d). O day bai toan noi den 2 hon soi i va (i+2) chu khong phai i va (i +1).
Nhung dieu do cung khong quan trong lam. Dieu quan trong hon la cai logic "trắng và đen tương đương" nen suy ra... cai logic nay cung chua dung vi tinh chat trang den tuong duong la tinh chat doi xung cua bai toan voi 2 mau chu khong the ap dung de suy ra cai menh de "các hòn sỏi phân bố thành các cặp cùng màu liên tiếp trên vòng tròn" duoc. Vi dieu suy ra nhu vay chi dung voi gia thiet manh hon: "Chứng minh rằng có một hòn sỏi mà hai hòn hai bên (trái, phải) cung mau"
Con ve cau so 2, day la loi giai cua dexter8310:
2. Nếu trên vòng tròn ko có số âm --> đúng
Giả sử m là số (âm) nhỏ nhất trên vòng tròn. Tính tổng của k số liên tiếp theo chiều kim đồng hồ bắt đầu từ m, với mọi k: 0<k<n+1 (--> có n tổng).
Gọi D là tổng âm nhỏ nhất trong n tổng này (D <= m), thì số x phải tìm là số liền sau số hạng cuối của tổng D theo chiều kim đồng hồ
Thuc ra co the chon so m het suc tuy y chu khong can phai la so am nho nhat.

[LapNT]

Sau day la loi giai cua minh cho cau so 1:
Danh so cac hon soi tren vong tron la: a_1, a_2,..., a_50. Trong do: a_i = 0 neu hon soi do la den va = 1 neu hon soi do mau trang.
Chung minh bai toan bang phuong phap phan chung. Khong ton tai i sao cho a_i va a_(i+2) cung trang co nghia la: a_i + a_(i+2) <=1 for all i = 1..50 (quy uoc a_51 = a_1, a_52 = a_2).
Lay tong sum_{i=1}^{25}[a_{2i} + a_{2i+2}]<=25.
<=> 2sum_{i=1}^{25}a_{2i}<=25.
<=> sum_{i=1}^{25}a_{2i}<=12
Lam tuong tu ta co: sum_{i=0}^{25}a_{2i+1}<=12
Do do 25 = sum_{i=1}^{50}a_{i}<=12+12 dieu nay vo ly.